บทที่ 3 อสมการ

อสมการ เป็นประโยคที่แสดงถึงความสัมพันธ์ของจำนวนโดยมีสัญลักษณ์ <, >, ≤, ≥, หรือ ≠ แสดงความสัมพันธ์

ในแต่ละอสมการอาจมีตัวแปรหรือไม่มีตัวแปรก็ได้ ถ้าอสมการมีตัวแปร ตัวแปรนั้นจะแทนจำนวน ในกรณีที่ไม่ระบุเงื่อนไขของตัวแปร ให้ถือว่าตัวแปรนั้นแทนจำนวนจริงใด ๆ
เช่น
4 + 5 > 8 เป็นอสมการที่ไม่มีตัวแปร
3x + 10 ≥ 19 เป็นอสมการที่มีตัวแปร(มีตัวแปรเป็น x)

อสมการที่มีตัวแปรเดียวและดีกรีของพหุนามเท่ากับ 1 เรียกว่า อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

เช่น
3x + 2 > 5
5x - 10 ≤ 20
8a - 2 ≠ 4a

เรียกอสมการที่มีคำตอบเหมือนกันทุกคำตอบว่าเป็น อสมการที่สมมูลกัน

เช่น
อสมการ 2x + 3 > 5 สมมูลกับ x > 1
อสมการ (0.5)m - 1.5 ≤ สมมูลกับ 4m - 8 ≤ 20

การแก้อสมการจำเป็นต้องใช้สมบัติการไม่เท่ากันที่สำคัญดังนี้

กำหนด a, b, c และ d เป็นจำนวนจริงใด ๆ โดยที่ d ≠ 0 จะได้

1. ถ้า a < b แล้ว a + c < b + c
2. ถ้า a < b และ d > 0 แล้ว ad < bd
3. ถ้า a < b และ d < 0 แล้ว ad > bd
4. ถ้า a < b และ b < c แล้ว a < c

หมายเหตุ
สำหรับ ≤ ก็มีสมบัติเช่นเดียวกับ < ใน 4 ข้อข้างต้น

คำตอบของอสมการ คือ จำนวนที่แทนตัวแปรในอสมการแล้วทำให้อสมการเป็นจริง

อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว อาจมีคำตอบได้หลายลักษณะ ดังตัวอย่างต่อไปนี้

กำหนดให้ a และ b แทนจำนวนจริงใด ๆโดยที่ a < b สามารถเขียนคำตอบบนเส้นจำนวนได้ เช่น






การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
การแก้อสมการ คือ การหาคำตอบของอสมการโดยใช้สมบัติต่าง ๆ ได้แก่ สมบัติการบวกของการไม่เท่ากัน เมื่อ a, b และ c แทนจำนวนจริงใด ๆ

1. ถ้า a < b แล้ว a + c < b + c
2. ถ้า a ≤ b แล้ว a + c ≤ b + c
3. ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c
4. ถ้า a ≥ b แล้ว a + c ≥ b + c

สมบัติการคูณของการไม่เท่ากัน

ให้ a, b และ c แทนจำนวนจริงใด ๆ

1. ถ้า a < b และ c เป็นจำนวนจริงบวก แล้ว ac < bc
2. ถ้า a ≤ b และ c เป็นจำนวนจริงบวก แล้ว ac ≤ bc
3. ถ้า a < b และ c เป็นจำนวนจริงลบ แล้ว ac > bc
4. ถ้า a ≤ b และ c เป็นจำนวนจริงลบ แล้ว ac ≥ bc
5. ถ้า a > b และ c เป็นจำนวนจริงบวก แล้ว ac > bc
6. ถ้า a ≥ b และ c เป็นจำนวนจริงบวก แล้ว ac ≥ bc
7. ถ้า a > b และ c เป็นจำนวนจริงลบ แล้ว ac < bc
8. ถ้า a ≥ b และ c เป็นจำนวนจริงลบ แล้ว ac ≤ bc

ตัวอย่างการแก้อสมการ
ตัวอย่าง จงแก้อสมการและเขียนกราฟแสดงคำตอบ
7(x + 3) - 5 ≤ 4x + 8
7x + 21 - 5 ≤ 4x + 8
7x + 16 ≤ 4x + 8
3x ≤ -8
x ≤ -8/3
x ≤ -2(2/3)

เขียนกราฟแสดงคำตอบได้ดังนี้















ที่มา  http://www.novellive.com/lesson-lesson/math/math-m3-foundation-term2-inequality




การแก้อสมการ